Da Archimede a Galileo, il perché dell’infinito

L’infinito è uno dei problemi più complessi della scienza al punto da essere stato definito il Santo Graal della matematica, e non pochi si sono persi sulla strada della sua ricerca, alcuni di coloro che riuscirono ad avvicinarsi di più persero la ragione come Cantor.

Pur essendo un concetto che potrebbe sembrare astratto ad unico appannaggio degli scienziati, un diletto intellettuale per menti matematiche, costituisce un passaggio obbligatorio per lo sviluppo di molti rami della scienza, e di conseguenza è molto importante da un punto di vista pratico: ci serve nella vita quotidiana, perché ci serve la matematica.

L’infinito, fin dalla notte dei tempi, ha due direzioni nelle quali creare problemi agli scienziati, filosofi e teologi: verso il macro, il grande, si arriva quindi alla questione dell’universo infinito, e nella direzione del piccolo, che in matematica significa la divisibilità della retta o meglio di una grandezza, per usare la terminologia della matematica classica, dove una grandezza può essere qualsiasi elemento geometrico, in Archimede lo è anche il tempo, per cui all’epoca parlare della divisibilità di una grandezza non era dovutamente la stessa cosa che parlare della divisibilità di una retta.

Come detto, non si tratta di vezzi accademici, o della curiosità di alcuni matematici dell’antichità, che si chiesero come dividere un segmento. La questione della divisione di una grandezza è legata ai fondamenti della matematica, nacque con i pitagorici e si impose come grave necessità nel momento in cui si giunse alla razionalizzazione della geometria, per cui alcuni matematici e filosofi come Parmenide, Zenone e Democrito intesero le figure geometriche come composte da una quantità infinità di elementi, quindi non solo avevano bisogno dell’infinito per potere lavorare, ma di una matematica dell’infinito, che permettesse di gestire i rapporti tra  figure geometriche, per questo motivo Eudosso e Archimede, che furono tra il risolutori del problema, vengono definiti i padri del calcolo infinitesimale.

Il difficile problema dell’infinita divisibilità della retta, noto anche come il Continuo, impegnò alcune delle più eccellenti menti matematiche della storia, trovò una soluzione definitiva, a tutt’oggi  valida, nella cosiddetta teoria delle proporzioni, nota anche come assioma di Archimede, che nella sua versione eudossiana costituisce la base della moderna definizione di numero.

Facciamo una breve e molto sommaria escursione nella teoria delle proporzioni, così capiremo anche perché a Galileo (il miglior allievo di Archimede) pur non essendo un matematico si interessò dell’infinito.

La teoria delle proporzioni non raggiunse una conclusione unitaria, ma sfaccettata. Il nucleo originale, di cui l’assioma di Archimede costituisce un ulteriore raffinamento, in base alla testimonianza dello stesso Archimede, sembra doversi attribuire ad Eudosso di Cnido, allievo del pitagorico Archita di Taranto, ed afferma:

Date due grandezze disuguali non nulle, la minore sommata a se stessa un numero sufficiente di volte, finirà col superare la maggiore”,

Di maggiore successo fu la versione di Euclide più generale e quindi di facile applicazione, conservata in Elementi V.5, un capolavoro sia filosofico che logico/scientifico del pensiero occidentale.

La teoria delle proporzioni nelle sue diverse sfaccettature è spesso usata nei teoremi archimedei ed è anche alla base delle leggi sul moto uniforme, che aprono lo studio Sulle Spirali, dove la stessa spirale è una curva che ruota sul proprio asse secondo una determinata proporzione estendendosi all’infinito ed era praticamente impossibile concepire o elaborare le leggi sul moto senza una teoria che regolasse i rapporti tra due o più grandezze (rette) e la loro divisibilità. Fu quindi la maturità raggiunta dalla matematica del suo tempo che permise ad Archimede di concepire e portare a termine uno studio così complesso come quello sulle spirali, nel quale la teoria delle proporzioni e l’infinito giocano un ruolo fondamentale.

Similmente Galileo, si interessò alla teoria delle proporzioni per elaborare le leggi sul moto, solo che qui subentra, come ha notato Frajese, una piccola variante tra maestro e allievo, sembra infatti che Archimede, nel caso specifico delle leggi sul moto, abbia fatto ricorso non al suo assioma, bensì alla più antica versione eudossiana, mentre Galileo usò quella euclidea.
Lo sforzo scientifico maggiore in questo caso fu però di Galileo, che essendo ancora legato ad una concezione platonica della matematica, aveva difficoltà a comprendere a fondo la teoria delle proporzioni, ciò nonostante riuscì a sviluppare le leggi sul moto e calcolare i movimenti planetari e creare il suo capolavoro: il sistema eliocentrico.

Con questo speriamo di essere riusciti a dare uno stralcio del perché lo studio sull’infinito è stato così importante nella storia dell’uomo, e del perché se noi oggi riusciamo a calcolare il movimento, il ché significa fare muovere gli oggetti e noi stessi, lo dobbiamo agli scienziati che più di 2500 anni fa, hanno gettato le basi della nostra scienza, e lo hanno fatto così bene che regge tuttora in modo mirabile; se non si arrivò prima ad ottenere i risultati che abbiamo oggi, è perché purtroppo ben presto comparvero filosofie come lo scetticismo che tolsero credibilità al procedimento scientifico, guerre e sete di potere fecero il resto. Il sapere umano nonostante tutto è un fiore estremamente delicato, ancora oggi, nonostante internet. Dalla morte di Archimede nel 212 a.C a Galileo erano molti secoli e gli scritti del siracusano erano stati letti dai massimi studiosi di tutti i secoli, eppure si dovette attendere l’arrivo di Galileo affinché ne capisse la reale portata e la scienza antica potesse rinascere. L’importante non è scrivere, ma che dall’altra parte ci sia qualcuno in grado di capire realmente la portata di uno scritto.

Nicoletta Latteri

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