Galileo e la sfida dell’Infinito

L’Infinito è una delle tematiche più affascinanti e difficili della matematica e della fisica, al punto da essere stato  definito il Santo Graal della matematica, ciò che tutti cercano, per il quale molti si sono persi, o per meglio dire: hanno perso la ragione, come Cantor un dei massimi matematici del 900.

Tra coloro che  riuscirono a domare parte dell’infinito vi fu Galileo, il quale purtroppo però pur avendo raggiunto risultati epocali, non si spinse oltre un certo punto.

Pare volesse scrivere un libro sull’infinito, ma non lo fece. Forse trattandosi di argomenti “sensibili” preferì non urtare oltre il Sant’Uffizio.

Galileo si occupò approfonditamente dell’infinitamente piccolo, utile allo sviluppo della dinamica, nell’opera “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze” pubblicata nel 1638, pochi anni prima della morte.

Opera meno nota del “Discorso sopra i due massimi sistemi del mondo”, ma non meno importante, segnò nell’ambito dell’infinito  un punto di svolta rispetto alla tradizionale filosofia aristotelica. Dove, ad essere precisi, Aristotele stesso aveva ammesso che l’infinito crea problemi (paradossi) sia negandolo che affermandolo, bisogna inoltre tenere presente che, data la problematicità posta dalla datazione degli scritti aristotelici, è difficile riuscire a stabilire chiaramente quale fosse la posizione aristotelica, tanto più che le sue definizioni di infinito potenziale ed il atto non sono del tutto chiare e presentano alcune contraddizioni intrinseche.

Potremo dire che Galileo fu il primo scienziato a toccare l’infinito in atto. Convinto atomista sia per quanto concerne la fisica che la matematica, assunse il continuo come assodato, identificandolo con la retta geometrica, definendo quest’ultima come composta da infiniti “primi”, elementi privi di estensione,  infatti, per essere divisibile il continuo deve essere composto da parti infinite, che non possono essere “quante” quindi di grandezza finita, perché in tal caso non si avrebbe un’estensione infinita, ma indivisibili. Galileo annulla quindi implicitamente il concetto di infinito potenziale, lasciando solo quello in atto.  A questo proposito egli stesso commenta a fronte di un risultato di tale portata:

“… che questo sia in atto o in potenza fate come più vi piace”.

Dietro questa apparente indifferenza galileiana alla categoria d’appartenenza dell’infinito, si cela il definitivo superamento dell’idea di “infinito in atto” come formulata da Aristotele, che nel nuovo intendimento scientifico non aveva più ragion d’essere e che a ben guardare non l’aveva avuta nemmeno presso i matematici dell’antichità, fatta eccezione per Euclide e forse Eudosso, ma solo forse.

Nell’ambito dello studio sugli “infiniti” Galileo compie un passo ancora più importante,  introducendo un nuovo modello d’infinito, ottenuto elaborando il rapporto “uno a uno”, la cosiddetta corrispondenza biunivoca tra i numeri ed i loro quadrati, così facendo dimostrò, che ci sono tanti numeri quanti quadrati, mettendo in relazione due insiemi infiniti, o meglio l’insieme dei numeri interi con il suo sottoinsieme composto da quadrati,

1 ↔ 1

2 ↔ 4

3 ↔ 9

… …

n ↔ n2

… …

Scoprendo in tal modo una proprietà importante dell’infinito, e cioè che un insieme infinito può essere uguale ad un suo sottoinsieme che ne comprende solo una parte e non la totalità; ciò era in aperto contrasto con quanto postulato da Euclide, in base alla semplice evidenza logica che una parte è minore del tutto. Galileo tuttavia non si spinse fino ad affermare che i due insiemi fossero uguali, ma si limitò a fare dire a Salviati: “Gli attributi di eguale maggiore e minore non hanno luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle quantità determinate”. Capì, ma non ebbe il coraggio di fare il passo decisivo,  preferì essere prudente nell’esplorazione dell’infinito ed non inoltrarsi oltre nell’argomento, abbandonando la ricerca ad uno stadio precedente quello raggiunto dal suo maestro Archimede.

Le perplessità galileiane sul paradosso messo in luce, furono risolte poco tempo dopo da Cartesio, il quale comprese che il paradosso costituiva una caratteristica pensabile per ogni insieme infinito. Gli insiemi infiniti non potevano che trascendere ed essere al di fuori degli schemi e regole del finito e degli insiemi finiti, capovolgendo così l’intero approccio tradizionale all’infinito, prefigurando la matematica moderna, che giungerà a definire il finito in base all’infinito.

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